Como vimos anteriormente, as equações incompletas são resolvidas basicamente pela aplicação de Produtos Notáveis e Fatoração. Quando a equação é completa torna-se um pouco mais trabalhosa a solução.

 

Em primeiro lugar devemos ter a equação no formato reduzido: 

ax² + b x + c = 0, onde a, b e c são coeficientes diferentes de zero.

 

É atribuído a um matemático, professor, astrólogo e astrônomo indiano, o mais importante matemático do século XII de nome Bhaskara, o desenvolvimento de uma fórmula prática para a resolução dessas equações. Porém há controvérsias. Segundo alguns historiadores a fórmula já existia muito antes de Bhaskara. De qualquer forma a história consagrou este processo como Fórmula de Bhaskara. 

 

Vamos mostrar como o matemático deve ter chegado brilhantemente a essa fórmula:

 

1º passo: Usando a equação na sua forma reduzida, transportou o termo independente para o segundo membro da equação:

 

a x² + b x + c = 0 → a x² + b x = – c 

 

2º Passo: A grande sacada: Pensou em transformar o primeiro membro da equação em um Trinômio Quadrado Perfeito *, que depois de fatorado, permitiria facilmente encontrar uma solução. Para tornar aquele binômio em trinômio quadrado perfeito precisava que o coeficiente a se transformasse em um quadrado perfeito: 4a² , então multiplicou toda a equação por 4a.

 

a x² + b x = – c → 4a²x² + 4abx = – 4ac

 

3º Passo: Conforme vimos anteriormente, para obter o trinômio, necessitava de somar um terceiro termo no primeiro membro e calculou que esse termo deveria ser b². Para não alterar a equação somou  b² nos dois membros.

 

4a²x² + 4abx = – 4ac → 4a²x² + 4abx + b² = + b² – 4ac 

 

4º Passo: Temos o caso de fatoração do Trinômio Quadrado Perfeito que é igual ao quadrado da soma de um binômio. 

 

4a²x² + 4abx + b² = b² – 4ac → (2ax + b)² = b² – 4ac

 

5º Passo: Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros da equação não alteramos a igualdade, portanto:

6º Passo: Como a solução da equação são os valores que x pode apresentar, vamos deixá-lo só no primeiro membro: 

* Trinômio quadrado perfeito - clique aqui!