Seja o produto de binômios abaixo onde R1 e R2 são raízes reais de um trinômio de 2º grau de uma só variável: 

 

(x – R1) (x – R2) =

Desenvolvendo o produto teremos: 

 

(x – R1) (x – R2) = x² – R1x – R2x + R1.R2

 

Simplificando: (x – R1) (x – R2) = x² – ( R1 + R2)x + R1.R2.

 

Examinando o resultado acima, vemos que o coeficiente “b” do trinômio é o oposto da soma das raízes: –( R1+R2) , e o termo independente “c” é o produto das raízes R1.R2. O coeficiente "a" é igual a 1.

 

Portanto, ao depararmos com um trinômio de 2º grau ax² + bx + c = 0, podemos 

Fatorar o trinômio significa elaborar a expressão que lhe deu origem, ou seja, o produto dos

 

binômios:             (x – R1) (x – R2)

 

Exemplo: Fatorar o trinômio x² + 2x – 3 

 

Considerações: R1.R2 = – 3 implica que uma das raízes é negativa, porque o produto de dois números é negativo quando os sinais forem diferentes, logo, um deles é negativo.

 

– ( R1 + R2) = 2 implica que a raiz de módulo maior é negativa.

 

 

Resumo: Temos que calcular dois números, um negativo e outro positivo que somados resulte em - 2, e o produto entre eles resulte – 3. 

 

Chute"(previsão): R1 = 1 e R2 = – 3 posto que:

 

– ( R1 + R2) = – [1 + (– 3)] = – (– 2) = 2          e           R1.R2 = (1)( – 3) → R1.R2 = – 3 

 

Se o chute estiver correto, a fatoração será: 

 

x² + 2x – 3 = [x – (+1)] [x – (–3)] = (x –1) (x + 3). 

 

Para ver se a fatoração está correta vamos efetuar o produto: 

 

(x –1) (x + 3) = x² + 3x – x – 3 = x² + 2x – 3 

 

Vemos que o resultado da fatoração está correto, mas se eu não quiser chutar, como seria? 

 

Calculo as raízes para o trinômio igualado a zero, e a partir das raízes, calculo o produto dos binômios:

 

x² + 2x – 3 = 0 → a = 1, b = 2 e c= – 3 →     Δ = b² – 4ac → Δ = 2² – 4(1)( – 3) →

 

→ Δ = 4 + 12 portanto Δ = 16. 

Logo, chegamos ao resultado sem chute, e o resultado é realmente: 

 

x² + 2x – 3 = (x –1) (x + 3)