Vejam estes dois conjuntos: Um conjunto P de Profissões e o conjunto T de trabalhadores que exercem as profissões constantes no conjunto P, como já vimos na página anterior. 

DIAGRAMA DE VENN

Então todos os pares que encontrarmos na vida serão pares ordenados? 

Claro que não!

Pares ordenados são aqueles que representam as relações entre os elementos de um conjunto e outro, desde que, o primeiro elemento do par pertence ao primeiro conjunto e o segundo elemento pertence ao segundo conjunto. 

Escreve-se assim: Sejam os conjuntos T = {Aluísio, Luiz, José, Elias, João, Daniel} e o conjunto P = {Vendedor, Motorista, Redator, Advogado, Dentista, Médico, Engenheiro}

Um par (t,p) é par ordenado se t ∈T e p ∈ P. 

Observações: 

a) ∈ é um simbolo que significa pertencer. Veja "simbolos matemáticos" 

b) Se t = Oscar e p = Redator, o par (t,p) não é um par ordenado porque Oscar não pertence ao conjunto T.

c) (t,p) ≠ (p,t) porque: Seja o par ordenado (Daniel, Engenheiro). O par (Engenheiro, Daniel) não é par ordenado. Engenheiro não pertence ao conjunto T e Daniel não pertence ao conjunto P. O Daniel não é profissão.

d) Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) só serão iguais se e somente se: 

a = c e b = d. 

e) O conjunto dos pares ordenados forma um outro conjunto que chamamos de PRODUTO CARTESIANO:

Então: T X P = { (t,p) <=>  t ∈ T e p ∈ P}

Outro exemplo:

Sejam os conjuntos A = N e B = Z então: 

(N = conjunto dos números naturais e Z = Conjunto dos números inteiros)

A x B = {(x,y) <=>x ∈ A e y ∈ B}

A x B = {(0,0);(0,-2);(2,-5);.....;(0,1);(0,2), ....; (1,0);(1,1);(1,2),....;(10,105);(15,3),........;} Tem infinitos elementos, infinitos pares.

Pares como: (0,5;2), (1/2,4), (2;2/3), (- 2, 5) não são pares ordenados do conjunto AXB acima porque, ou o primeiro elemento não pertence ao conjunto A, ou o segundo elemento não pertence ao conjunto B. 

As relações ou aplicações com conjuntos numéricos são amplamente utilizadas para pesquisas e estudos científicos, para pesquisas tecnológicas e engenharia, economia, etc...