Verificando qualquer circunferência e um ponto no plano, deduzimos que há três situações possíveis:

1 - O ponto está em uma posição interna na circunferência:

Neste caso a distância entre o centro da circunferência e o ponto é menor que o raio, ou seja:

(x - xc)² + (y - yc)² < r² 

Exemplo: Seja a circunferência de centro O(1, -1) e raio = 2 , e um ponto Q = (2, -2): 

a) A equação da circunferência será: (x - 1)² + (y + 1)² = 2²

b) Substituimos o ponto Q na equação e obtemos:

d² - r² = (2 - 1)² + (-2 + 1)² - 4 = 1² + 1² - 4 = - 2 , portanto  

d - r < 0 e d < r

Veja o gráfico:

2 -  O ponto está em uma posição externa na circunferência:

Usamos a mesma circunferência, porém em relação a um 

ponto P = (3,2)

Substituimos o ponto P na equação e obtemos:

d² - r² = (3 - 1)² + (2 + 1)² - 4 = 2² + 3² - 4 = 9 , portanto  

d - r > 0 e d > r

Veja o gráfico:

3 -  O ponto está em uma posição na circunferência: 

T pertence a circunferência.

Usamos a mesma circunferência, porém em relação a um 

ponto T = (1, -3)

Substituimos o ponto T na equação e obtemos:

d² - r² = (1 - 1)² + (-3 + 1)² - 4 = 0² + (-2)² - 4 = 0 , portanto  

d - r = 0 e d = r

Veja o gráfico:

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